Time in Pontianak Supadio
Trik
Menyelesaikan Integral Substitusi
Penyelesaian soal-soal Integral menggunakan sistem Integral Substitusi biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan integral yang memuat pangkat tinggi dari suatu suku aljabar. Biasanya kita akan memisalkan suku aljabar tersebut dengan u kemudian merubah bentuk aljabar tersebut dalam u dan seterusnya. Cara seperti ini memakan waktu yang cukup lama, kali ini saya sajikan cara cepat menyelesaikan permasalahan integral substitusi tanpa permisalan, sehingga lebih singkat dan sederhana. Perhatikan contoh berikut:
Contoh 1 :
∫ (2x + 5)6
dx = ....
Penyelesaian
:
Turunan dari 2x + 5 = 2
sehingga:
sehingga:
∫ (2x + 5)6
dx = 1 . 1
(2x + 5)7 + c = 1 (2x + 5)7
+ c
2 6 + 1
14
Contoh
2 :
∫ 3x (4x2 -
3)7 dx = ....
Penyelesaian
:
Turunan
dari 4x2 - 3 = 8x, ambil koefisien variabel x dari turunan
yaitu 8 sebagai pembagi dan x diluar kurung di abaikan.
sehingga
:
∫ 3x (4x2 -
3)7 dx = 3 .
1 (4x2 - 3)7
+ c = 3 (4x2 - 3)7
+ c
8
7 + 1
64
Contoh 3 :
∫(x – 2) (4x2 – 16x + 7)7
dx = ... .
Penyelesaian :
Turunan dari 4x2 –
16x + 7 = 8x - 16 = 8(x - 2) ambil koefisien dari (x - 2) yaitu 8 sebagai
pembagi sedangkan ( x - 2 ) diabaikan.
sehingga :
∫(x – 2) (4x2 – 16x
+ 7)7dx = 1 . 1 (4x2 – 16x + 7)8 + c = 1
(4x2 – 16x + 7)8 + c
8 7 + 1
64
Rumus cepat logaritma....
Dulu, ketika saya masih baru menjadi mahasiswa baru
tingkat pertama, saya berkenalan dengan salah seorang mahasiswa baru lainnya
yang di kemudian hari menjadi teman baik saya. Ketika awal perkenalan, kami pun
ngobrol kesana-kemari. Tanya sana-tanya sini. Jawab sana, jawab sini. Hingga ia
pun akhirnya bercerita bahwaa nilai tes Matematika Dasar-nya, yaitu salah satu mata
pelajaran yang diujikan di UMPTN*, adalah 100 alias benar semua.
Mendengar ceritanya tersebut, saya
pun terkagum-kagum dibuatnya. Dalam pikiran saya, saya berkesimpulan “Wah ia
pasti orang yang sangat pandai”. Rasa kagum saya mendorong rasa ingin tahu saya
tentang pengetahuannya dalam matematika. Akhirnya, dalam masa awal perkenalan
itu, saya ajak ia ngobrol tentang
matematika yang sudah
pernah kami pelajari ketika semasa SD sampai SMA dulu.
Dari obrolan tersebut, saya jadi
tahu, ternyata ia benar-benar luas pengetahuan tentang matematika yang sudah
dipelajarinya. Hingga akhirnya, mungkin untuk menunjukkan kepiawaiannya, ia
mengajak saya adu cepat mengerjakan soal matematika.
Mendapat tantangan itu, sebenernya
saya ngeper juga. Karena saya merasa tak sepandai dirinya. Namun, karena
ini namanya juga bukan lomba dan bukan apa-apa, saya sih mau saja waktu itu.
Soal-soal pun dipilih secara acak dari buku kumpulan soal-soal latihan tes
UMPTN* dan EBTANAS** beberapa tahun sebelumnya yang masih rajin ia bawa ke
mana-mana. Kemudian, adu cepat menyelesaikan soal matematika pun dimulai.
Bagaimana hasilnya? Siapa yang
tercepat?
Ternyata benar, dalam beberapa menit
saja, teman saya itu berhasil menyelesaikan semua soal yang sudah dipilih tadi
(karena yang dipilih cuma 3 soal sih). Dan ia keluar sebagai yang tercepat,
menjadi pemenang. Sedangkan saya, satu soal pun belum mampu saya selesaikan.
Waktu itu, saya terlalu berkutat dengan soal nomor pertama yang lumayan sukar
untuk ukuran saya waktu itu. Walau sudah dengan segenap kemampuan saya berusaha
menyelesaikannya, tapi ternyata, sampai waktu habis belum ketemu juga. Saya pun
mengakui kelebihan dan kehebatannya.
Dengan sedikit malu-malu, saya
bertanya padanya tentang soal yang belum bisa saya selesaikan tersebut. Sambil
saya tanyakan pula kenapa ia begitu cepat bisa menyelesaikan soal-soal
tersebut. Soal yang waktu itu belum bisa saya selesaikan adalah seperti berikut
ini.
Soal: Bila a + 1/a = 5, maka nilai dari a3 +
1/a3 =…
Dengan cepat teman saya itu pun
menyelesaikan soal tersebut seperti berikut ini:
a3 + 1/a3 = (a
+ 1/a)3 – 3a.1/a(a + 1/a) = 53 – 3(5) = 125 – 15 = 110.
Melihat cara
penyelesaiannya, saya hanya bisa
melongo waktu itu. “Cuma satu baris? Padahal saya mencoba menyelesaikannya
berbaris-baris, dan belum ketemu juga”, itu yang ada di pikiran saya. Kemudian,
saya pun bertanya ke teman saya itu, kenapa cara pengerjaannya seperti itu?
Dengan senang hati, ia pun
menjelaskan ke saya. Ia katakan bahwa, soal semacam tersebut dapat dengan mudah
diselesaikan dengan rumus “cepat” berikut ini.
a3 + b3 = (a +
b)3 – 3ab(a + b) ………………………………..(1)
Dengan mengganti b dengan 1/a,
katanya, maka soal tadi dapat diselesaikan dengan cepat seperti yang sudah dikerjakannya
tadi.
Saya yang tak terbiasa menggunakan
rumus “cepat” ketika di SMA dulu, penasaran ingin tahu alasan kenapa rumus
“cepat” tersebut bisa dipakai. Tapi sayang, teman saya itu tak memberi tahu
saya. Malahan ia menambah lagi rumus cepat yang sudah ia ketahuinya, yaitu:
a3 – b3 = (a –
b)3 + 3ab(a – b)……………………………….(2)
Akhirnya, ngobrol-ngobrol pun beres.
Ia bergegas pulang menuju kost-kost-annya. Saya pun begitu, pulang dengan rasa
penasaran yang mengganjal.
Di kost-kost-an, dengan penuh rasa
penasaran ingin tahu, saya pun mengutak-atik rumus “cepat” yang telah ia
gunakan tersebut. Setelah beberapa waktu lamanya, akhirnya, terpecahkan juga
rahasia rumus “cepat” yang dipakai teman saya tersebut. Saya berhasil
menelusuri asal-muasal rumus “cepat” tersebut, berhasil menguak rahasianya. (Duh
rasanya begitu senang sekali, tak bisa saya ekspresikan dengan kata-kata).
Hasil penelusuran saya tersebut,
setelah saya rapikan, seperti berikut ini.
(a + b)3 = (a + b)2(a
+ b)
= (a2 + 2ab + b2)(
a + b)
= a3 + a2b +
2a2b + 2ab2 + b2a + b3
= a3 + b3 + 3a2b
+ 3ab2
= a3 + b3 + 3ab (a + b)
Jadi, (a + b)3 = a3
+ b3 + 3ab (a + b).
Sehingga, a3 + b3
= (a + b)3 – 3ab (a + b). Rumus “cepat” (1) dapat saya buktikan
kebenarannya. Kemudian, dengan cara serupa, saya pun berhasil menelusuri
asal-muasal rumus “cepat” (2).
Walaupun apa yang telah saya lakukan
tersebut sederhana, tapi bagi ukuran saya waktu itu adalah sesuatu yang
menggembirakan hati, menyenangkan pikiran, dan memuaskan dahaga keingin-tahuan
saya.
Sejak saat itu, bila ada rumus-rumus
“cepat” yang saya temui di buku-buku bimbingan tes, saya pun terpacu untuk
menelusuri asal-muasalnya. Dengan cara seperti itu, saya seringkali berhasil
memecahkan rahasia rumus-rumus “cepat” yang selama ini beredar luas di kalangan
siswa yang mengikuti bimbingan test.
Baiklah, segitu dulu saja ceritanya
ya…, lain kali insya Allah saya akan membahas baik-buruknya penggunaan rumus
“cepat” (Ada satu cerita yang sangat menggelikan tentang hal ini. Mau tahu?
Silakan tunggu di postingan mendatang…). Sampai di sini dulu ya…, mudah-mudahan
bermanfaat.
Sebagai bahan latihan untuk Anda,
cobalah telusuri asal-muasal rumus-rumus “cepat” berikut ini.
- Persamaan
garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.
- Perhatikan gambar berikut.
Panjang PQ dapat ditentukan dengan mudah, yaitu:
PQ
= (AP. DC + DP. AB)/(AD)
Catatan:
*UMPTN:
Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (Saat ini namanya SPMB)
**EBTANAS:
Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional (Saat ini namanya UAN)
mohon di jawab dan berikan caranya
Jawab: 26 (Selesai).
Bagaimana caranya?
Karena 36/9 = 4. Maka selisih dua angka tersebut adalah 4.
15 tidak mungkin karena 13/4 . (1 + 5) bukan bulat.
26 mungkin benar karena 13/4 .(2 + 6) = 26
Bagaimana cara lebih jelasnya?
Baik, mari kita gunakan cara yang sering disebut oleh Paman APIQ sebagai metode substitusi atau eliminasi.
Misal bilangan dua digit tersebut adalah ab maka a adalah puluhan dan b adalah satuan.
nilainya 13/4 dari jumlah digit – digitnya
10a + b = 13/4 (a + b) …….. ……. ………..(1)
Jika 36 ditambahkan dgn x maka menghasilkan digit yang sama tetapi dalam bentuk kebalikannya (atau ba).
36 + 10a + b = 10b + a
36 + 9a = 9b
4 + a = b …………… …………. ……….(2)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
10a + (4 + a) = 13/4 (a + 4 + a)
11a + 4 = 13 + (13/2)a
(9/2) a = 9
a = 2
maka b = 4 + a = 6
Jadi bilangan tersebut adalah ab = 26 (Selesai).
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
0 komentar:
Posting Komentar